填充因子

短路电流和开路电压分别是太阳能电池的最大电流和电压。然而，在这两个工作点，太阳能电池的功率均为零。 “填充因子”（更常见的缩写为“FF”）是一个参数，与 V_oc 和 I_sc 一起用来确定太阳能电池的最大功率。 FF 定义为太阳能电池的最大功率与 V_oc 和 I_sc 的乘积之比：

$FF=\frac{P_{MP}}{V_{OC}\times I_{SC}}$

$FF=\frac{V_{MP}{I}_{MP}}{V_{OC}{I}_{SC}}$

从图形上看，FF 是太阳能电池“方形度”的度量，也是IV 曲线下最大的矩形面积。 FF 如下图所示。

电池输出电流（红线）和功率（蓝线）与电压的关系图。还显示了电池短路电流 (I_sc) 和开路电压 (V_oc) 点，以及最大功率点（V_mp、I_mp）。单击图表可查看 FF 较低的电池的曲线如何变化。

由于 FF 是 IV 曲线“方形度”的量度，因此电压较高的太阳能电池可能具有较大的 FF，因为 IV 曲线的“圆形”部分占用的面积较小。太阳能电池的最大理论 FF 可以通过将太阳能电池的功率与电压微分并找到其为零的位置来确定。因此：

$\frac{d(IV)}{dV}=0$

得出：

$V_{MP}=V_{OC}-\frac{nkT}{q}ln(\frac{q{V}_{MP}}{nkT}+1)$

这是一个隐函数，但通过迭代很快收敛。以 V_MP = 0.9 × V_OC 作为初始条件开始，一次迭代后误差 < 1%，三次迭代后误差可忽略不计 (< 0.01%)。另一种方法是使用朗伯函数（见下文）。将 V_MP 的值代入二极管方程，得到 I_MP，然后得到 FF。 FF 更常用的经验表达式是：^[Green1981]

$FF=\frac{v_{oc}-\ln \left(v_{oc}+0.72\right)}{v_{oc}+1}$

其中 V_oc 定义为“归一化 V_oc”：

$v_{oc}=\frac{q}{nkT}{V}_{oc}$

Fill Factor Calculator 1

Input Parameters

Open-circuit voltage,V_oc (volts) Ideality Factor,n (units) Temperature, T (K)

Results

Normalized V_OC, v_oc (units):

X

Fill Factor, FF:

X

上述方程表明，电压越高，FF 可能会越高。然而，对于给定材料系统内，开路电压的较大变化相对并不常见。例如，在一个太阳下，硅实验室设备下和典型商用太阳能电池测得的最大开路电压之间的差异约为 120 mV，最大 FF 分别为 0.85 和 0.83。然而，对于由不同材料制成的太阳能电池，最大 FF 值的变化可能很大。例如，GaAs 太阳能电池的 FF 可能接近 0.89。

上述方程还说明了理想因子（也称为太阳能电池的“n 因子”）的重要性。理想因子是太阳能电池中结质量和复合类型的衡量标准。对于复合的种类中讨论的几种简单复合机制，n 因子的值为 1。然而，某些复合机制，特别是较大的复合机制，可能会引入值为 2 的复合机制。高 n 值不仅会降低 FF ，由于它通常也会发出高复合信号，因此也会导致较低的开路电压。

上述方程的一个关键限制是它们代表了最大可能的 FF值，尽管实际上由于寄生电阻损耗的存在，FF 会更低，我们会在寄生电阻的影响中进行讨论。因此，FF 通常是根据 IV 曲线的测量来确定的，定义为最大功率除以 I_sc*V_oc 的乘积，即：

$FF=\frac{V_{MP}{I}_{MP}}{V_{OC}{I}_{SC}}$

Fill Factor Calculator 2

Input Parameters

Open-circuit voltage, V_oc (volts): Short-circuit current, I_sc (amps): Voltage at max power, V_mp (volts): Current at max power, I_mp (amps):

Results

Resulting fill factor, FF:

X

V_MP的精确表达

太阳能电池的方程为

$I=I_L-I_0[\exp \left(\frac{V}{n{V}_t}\right)-1]$

$Power=V\times I$ 此外，-1 项对 V_MP 没有影响

$P=V{I}_L-V{I}_0\exp \left(\frac{V}{n{V}_t}\right)$

V_MP 是当功率相对于 V 的导数为零时：

$0=I_L-I_0\exp \left(\frac{V_{MP}}{n{V}_t}\right)(1+\frac{V_{MP}}{n{V}_t})$

V> > V_t 并通过整理得出：

$\frac{I_L}{I_0}=\exp \left(\frac{V_{MP}}{n{V}_t}\right)\left(\frac{V_{MP}}{n{V}_t}\right)$

朗伯W函数提供了一类指数函数的解。

$Y=X{e}^x\iff X=W(Y)$

所以我们得到：

$\frac{V_{MP}}{n{V}_t}=W\left(\frac{I_L}{I_0}\right)$

$V_{MP}=n{V}_{t}W\left(\frac{I_L}{I_0}\right)$

使用 V_OC 的表达式我们还可以写成：

$V_{MP}=n{V}_{t}W\left(\exp \left(\frac{V_{OC}}{n{V}_t}\right)\right)$

由于 W() 内部的表达式始终为实数且为正数，因此我们只需要朗伯W 函数的主分支 W₀。朗伯W 函数是一种超越函数，与对数函数非常相似。虽然它在大多数计算器上不可用，但在高级数学软件包（例如 Matlab 或 Python）上可用。通过进一步分析，朗伯W 函数还可以用于其他太阳能电池项以及存在寄生电阻的情况 ^[Jain2004]。

References

1. M. Green, “Solar cell fill factors: General graph and empirical expressions,” Solid-State Electronics, vol. 24, pp. 788 - 789, 1981. https://doi.org/10.1016/0038-1101(81)90062-9
2. A. Jain, “Exact analytical solutions of the parameters of real solar cells using Lambert W-function,” Solar Energy Materials and Solar Cells, vol. 81, no. 2, pp. 269 - 277, 2004. https://doi.org/10.1016/j.solmat.2003.11.018